Интеграл (3*x-5)^6 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |           6   
     |  (3*x - 5)  dx
     |               
    /                
    0                
    01(3x5)6dx\int_{0}^{1} \left(3 x - 5\right)^{6}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=3x5u = 3 x - 5.

        Тогда пусть du=3dxdu = 3 dx и подставим du3\frac{du}{3}:

        u6du\int u^{6}\, du

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          u6du=13u6du\int u^{6}\, du = \frac{1}{3} \int u^{6}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            u6du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Таким образом, результат будет: u721\frac{u^{7}}{21}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        121(3x5)7\frac{1}{21} \left(3 x - 5\right)^{7}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (3x5)6=729x67290x5+30375x467500x3+84375x256250x+15625\left(3 x - 5\right)^{6} = 729 x^{6} - 7290 x^{5} + 30375 x^{4} - 67500 x^{3} + 84375 x^{2} - 56250 x + 15625

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          729x6dx=729x6dx\int 729 x^{6}\, dx = 729 \int x^{6}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x6dx=x77\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}

          Таким образом, результат будет: 729x77\frac{729 x^{7}}{7}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          7290x5dx=7290x5dx\int - 7290 x^{5}\, dx = - 7290 \int x^{5}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x5dx=x66\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}

          Таким образом, результат будет: 1215x6- 1215 x^{6}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          30375x4dx=30375x4dx\int 30375 x^{4}\, dx = 30375 \int x^{4}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x4dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

          Таким образом, результат будет: 6075x56075 x^{5}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          67500x3dx=67500x3dx\int - 67500 x^{3}\, dx = - 67500 \int x^{3}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x3dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          Таким образом, результат будет: 16875x4- 16875 x^{4}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          84375x2dx=84375x2dx\int 84375 x^{2}\, dx = 84375 \int x^{2}\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Таким образом, результат будет: 28125x328125 x^{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          56250xdx=56250xdx\int - 56250 x\, dx = - 56250 \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1}:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: 28125x2- 28125 x^{2}

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          15625dx=15625x\int 15625\, dx = 15625 x

        Результат есть: 729x771215x6+6075x516875x4+28125x328125x2+15625x\frac{729 x^{7}}{7} - 1215 x^{6} + 6075 x^{5} - 16875 x^{4} + 28125 x^{3} - 28125 x^{2} + 15625 x

    2. Теперь упростить:

      121(3x5)7\frac{1}{21} \left(3 x - 5\right)^{7}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      121(3x5)7+constant\frac{1}{21} \left(3 x - 5\right)^{7}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    121(3x5)7+constant\frac{1}{21} \left(3 x - 5\right)^{7}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-50000000005000000000
    Ответ [src]
      1                        
      /                        
     |                         
     |           6             
     |  (3*x - 5)  dx = 25999/7
     |                         
    /                          
    0                          
    259997{{25999}\over{7}}
    Численный ответ [src]
    3714.14285714286
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                              
     |                              7
     |          6          (3*x - 5) 
     | (3*x - 5)  dx = C + ----------
     |                         21    
    /                                
    (3x5)721{{\left(3\,x-5\right)^7}\over{21}}