Интеграл (3*x+4)^10 (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |           10   
 |  (3*x + 4)   dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \left(3 x + 4\right)^{10}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 4$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int u^{10}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{10}\, du = \frac{1}{3} \int u^{10}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{11}}{33}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{33} \left(3 x + 4\right)^{11}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 4\right)^{10} = 59049 x^{10} + 787320 x^{9} + 4723920 x^{8} + 16796160 x^{7} + 39191040 x^{6} + 62705664 x^{5} + 69672960 x^{4} + 53084160 x^{3} + 26542080 x^{2} + 7864320 x + 1048576$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 59049 x^{10}\, dx = 59049 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{59049 x^{11}}{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 787320 x^{9}\, dx = 787320 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $78732 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4723920 x^{8}\, dx = 4723920 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $524880 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 16796160 x^{7}\, dx = 16796160 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $2099520 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 39191040 x^{6}\, dx = 39191040 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $5598720 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 62705664 x^{5}\, dx = 62705664 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $10450944 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 69672960 x^{4}\, dx = 69672960 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $13934592 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 53084160 x^{3}\, dx = 53084160 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $13271040 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 26542080 x^{2}\, dx = 26542080 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $8847360 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 7864320 x\, dx = 7864320 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $3932160 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1048576\, dx = 1048576 x$

      Результат есть: $\frac{59049 x^{11}}{11} + 78732 x^{10} + 524880 x^{9} + 2099520 x^{8} + 5598720 x^{7} + 10450944 x^{6} + 13934592 x^{5} + 13271040 x^{4} + 8847360 x^{3} + 3932160 x^{2} + 1048576 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{33} \left(3 x + 4\right)^{11}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{33} \left(3 x + 4\right)^{11}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{33} \left(3 x + 4\right)^{11}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                           
  /                           
 |                            
 |           10      657710813
 |  (3*x + 4)   dx = ---------
 |                       11   
/                             
0                             

$${{657710813}\over{11}}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                               11
 |          10          (3*x + 4)  
 | (3*x + 4)   dx = C + -----------
 |                           33    
/                                  

$${{\left(3\,x+4\right)^{11}}\over{33}}$$