Интеграл (3*x+9)^6 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           6   
 |  (3*x + 9)  dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \left(3 x + 9\right)^{6}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 9$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{6}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{6}}{3}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{3}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{7}}{21}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(3 x + 9\right)^{7}}{21}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 9\right)^{6} = 729 x^{6} + 13122 x^{5} + 98415 x^{4} + 393660 x^{3} + 885735 x^{2} + 1062882 x + 531441$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 729 x^{6}\, dx = 729 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{729 x^{7}}{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 13122 x^{5}\, dx = 13122 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $2187 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 98415 x^{4}\, dx = 98415 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $19683 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 393660 x^{3}\, dx = 393660 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $98415 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 885735 x^{2}\, dx = 885735 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $295245 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1062882 x\, dx = 1062882 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $531441 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 531441\, dx = 531441 x$

      Результат есть: $\frac{729 x^{7}}{7} + 2187 x^{6} + 19683 x^{5} + 98415 x^{4} + 295245 x^{3} + 531441 x^{2} + 531441 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{729 \left(x + 3\right)^{7}}{7}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{729 \left(x + 3\right)^{7}}{7}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{729 \left(x + 3\right)^{7}}{7}+ \mathrm{constant}$

Ответ

10349613/7

$$\frac{10349613}{7}$$

=

=

10349613/7

$$\frac{10349613}{7}$$

Численный ответ

1478516.14285714

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              7
 |          6          (3*x + 9) 
 | (3*x + 9)  dx = C + ----------
 |                         21    
/                                

$$\int \left(3 x + 9\right)^{6}\, dx = C + \frac{\left(3 x + 9\right)^{7}}{21}$$

График