Интеграл (3*x+5)^7 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           7   
 |  (3*x + 5)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(3 x + 5\right)^{7}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 3 x + 5$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int u^{7}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{7}\, du = \frac{1}{3} \int u^{7}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{8}}{24}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{24} \left(3 x + 5\right)^{8}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 5\right)^{7} = 2187 x^{7} + 25515 x^{6} + 127575 x^{5} + 354375 x^{4} + 590625 x^{3} + 590625 x^{2} + 328125 x + 78125$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2187 x^{7}\, dx = 2187 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2187 x^{8}}{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 25515 x^{6}\, dx = 25515 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $3645 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 127575 x^{5}\, dx = 127575 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{42525 x^{6}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 354375 x^{4}\, dx = 354375 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $70875 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 590625 x^{3}\, dx = 590625 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{590625 x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 590625 x^{2}\, dx = 590625 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $196875 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 328125 x\, dx = 328125 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{328125 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 78125\, dx = 78125 x$

      Результат есть: $\frac{2187 x^{8}}{8} + 3645 x^{7} + \frac{42525 x^{6}}{2} + 70875 x^{5} + \frac{590625 x^{4}}{4} + 196875 x^{3} + \frac{328125 x^{2}}{2} + 78125 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{24} \left(3 x + 5\right)^{8}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{24} \left(3 x + 5\right)^{8}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{24} \left(3 x + 5\right)^{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                          
  /                          
 |                           
 |           7               
 |  (3*x + 5)  dx = 5462197/8
 |                           
/                            
0                            

$${{5462197}\over{8}}$$

Численный ответ

682774.625

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              8
 |          7          (3*x + 5) 
 | (3*x + 5)  dx = C + ----------
 |                         24    
/                                

$${{\left(3\,x+5\right)^8}\over{24}}$$