Интеграл 3^(2*x+5) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   2*x + 5   
 |  3        dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} 3^{2 x + 5}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x + 5$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int 3^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3^{u}\, du = \frac{1}{2} \int 3^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left (3 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3^{u}}{2 \log{\left (3 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{3^{2 x + 5}}{2 \log{\left (3 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $3^{2 x + 5} = 243 \cdot 3^{2 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 243 \cdot 3^{2 x}\, dx = 243 \int 3^{2 x}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int 3^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 3^{u}\, du = \frac{1}{2} \int 3^{u}\, du$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left (3 \right )}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3^{u}}{2 \log{\left (3 \right )}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{3^{2 x}}{2 \log{\left (3 \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{243 \cdot 3^{2 x}}{2 \log{\left (3 \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{243 \cdot 9^{x}}{2 \log{\left (3 \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{243 \cdot 9^{x}}{2 \log{\left (3 \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{243 \cdot 9^{x}}{2 \log{\left (3 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |   2*x + 5       972  
 |  3        dx = ------
 |                log(3)
/                       
0                       

$${{972}\over{\log 3}}$$

Численный ответ

884.752528281286

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    2*x + 5
 |  2*x + 5          3       
 | 3        dx = C + --------
 |                   2*log(3)
/                            

$${{3^{2\,x+5}}\over{2\,\log 3}}$$