Интеграл y/(2-y^2) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    y      
 |  ------ dy
 |       2   
 |  2 - y    
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{y}{- y^{2} + 2}\, dy$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   y      
 | ------ dy
 |      2   
 | 2 - y    
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

                -2*y      
         - -------------- 
              2           
  y        - y  + 0*y + 2 
------ = -----------------
     2           2        
2 - y                     

или

  /           
 |            
 |   y        
 | ------ dy  
 |      2    =
 | 2 - y      
 |            
/             
  

   /                  
  |                   
  |      -2*y         
- | -------------- dy 
  |    2              
  | - y  + 0*y + 2    
  |                   
 /                    
----------------------
          2           

В интеграле

   /                  
  |                   
  |      -2*y         
- | -------------- dy 
  |    2              
  | - y  + 0*y + 2    
  |                   
 /                    
----------------------
          2           

сделаем замену

      2
u = -y 

тогда

интеграл =

   /                        
  |                         
  |   1                     
- | ----- du                
  | 2 + u                   
  |                         
 /              -log(2 + u) 
------------- = ------------
      2              2      

делаем обратную замену

   /                                   
  |                                    
  |      -2*y                          
- | -------------- dy                  
  |    2                               
  | - y  + 0*y + 2                     
  |                          /      2\ 
 /                       -log\-2 + y / 
---------------------- = --------------
          2                    2       

Решением будет:

       /      2\
    log\-2 + y /
C - ------------
         2      

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |    y         log(2)
 |  ------ dy = ------
 |       2        2   
 |  2 - y             
 |                    
/                     
0                     

$${{\log 2}\over{2}}$$

Численный ответ

0.346573590279973

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                    /     2\
 |   y             log\2 - y /
 | ------ dy = C - -----------
 |      2               2     
 | 2 - y                      
 |                            
/                             

$$-{{\log \left(2-y^2\right)}\over{2}}$$