Интеграл y/(y+1) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |    y     
 |  ----- dy
 |  y + 1   
 |          
/           
0           

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{y}{y + 1}\, dy$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{y}{y + 1} = 1 - \frac{1}{y + 1}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dy = y$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{y + 1}\right)\, dy = - \int \frac{1}{y + 1}\, dy$

      1. пусть $u = y + 1$.

         Тогда пусть $du = dy$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(y + 1 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(y + 1 \right)}$

   Результат есть: $y - \log{\left(y + 1 \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $y - \log{\left(y + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$y - \log{\left(y + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1 - log(2)

$$1 - \log{\left(2 \right)}$$

=

=

1 - log(2)

$$1 - \log{\left(2 \right)}$$

Численный ответ

0.306852819440055

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |   y                          
 | ----- dy = C + y - log(1 + y)
 | y + 1                        
 |                              
/                               

$$\int \frac{y}{y + 1}\, dy = C + y - \log{\left(y + 1 \right)}$$

График