Интеграл y/(y^2+3) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    y      
 |  ------ dy
 |   2       
 |  y  + 3   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{y}{y^{2} + 3}\, dy$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   y      
 | ------ dy
 |  2       
 | y  + 3   
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

         /    2*y     \                   
         |------------|                   
         | 2          |                   
  y      \y  + 0*y + 3/          0        
------ = -------------- + ----------------
 2             2                     2    
y  + 3                    /   ___   \     
                          |-\/ 3    |     
                          |-------*y|  + 1
                          \   3     /     

или

  /           
 |            
 |   y        
 | ------ dy  
 |  2        =
 | y  + 3     
 |            
/             
  

  /               
 |                
 |     2*y        
 | ------------ dy
 |  2             
 | y  + 0*y + 3   
 |                
/                 
------------------
        2         

В интеграле

  /               
 |                
 |     2*y        
 | ------------ dy
 |  2             
 | y  + 0*y + 3   
 |                
/                 
------------------
        2         

сделаем замену

     2
u = y 

тогда

интеграл =

  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 3 + u                
 |                      
/             log(3 + u)
----------- = ----------
     2            2     

делаем обратную замену

  /                             
 |                              
 |     2*y                      
 | ------------ dy              
 |  2                           
 | y  + 0*y + 3                 
 |                      /     2\
/                    log\3 + y /
------------------ = -----------
        2                 2     

В интеграле

0

сделаем замену

         ___ 
    -y*\/ 3  
v = ---------
        3    

тогда

интеграл =

True

делаем обратную замену

True

Решением будет:

       /     2\
    log\3 + y /
C + -----------
         2     

Ответ

  1                            
  /                            
 |                             
 |    y         log(4)   log(3)
 |  ------ dy = ------ - ------
 |   2            2        2   
 |  y  + 3                     
 |                             
/                              
0                              

$${{\log 4}\over{2}}-{{\log 3}\over{2}}$$

Численный ответ

0.14384103622589

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                    / 2    \
 |   y             log\y  + 3/
 | ------ dy = C + -----------
 |  2                   2     
 | y  + 3                     
 |                            
/                             

$${{\log \left(y^2+3\right)}\over{2}}$$