Интеграл (y-1)/y^2 (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  y - 1   
 |  ----- dy
 |     2    
 |    y     
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{y^{2}} \left(y - 1\right)\, dy$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{y^{2}} \left(y - 1\right) = \frac{1}{y} - \frac{1}{y^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $\frac{1}{y}$ есть $\log{\left (y \right )}$.

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{y^{2}}\, dy = - \int \frac{1}{y^{2}}\, dy$

         1. Интеграл $y^{n}$ есть $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{y^{2}}\, dy = - \frac{1}{y}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{y}$

      Результат есть: $\log{\left (y \right )} + \frac{1}{y}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{y^{2}} \left(y - 1\right) = - \frac{1}{y^{2}} + \frac{y}{y^{2}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{y^{2}}\, dy = - \int \frac{1}{y^{2}}\, dy$

         1. Интеграл $y^{n}$ есть $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{y^{2}}\, dy = - \frac{1}{y}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{y}$

      1. пусть $u = \frac{1}{y^{2}}$.

         Тогда пусть $du = - \frac{2 dy}{y^{3}}$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{2} \log{\left (\frac{1}{y^{2}} \right )}$

      Результат есть: $- \frac{1}{2} \log{\left (\frac{1}{y^{2}} \right )} + \frac{1}{y}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (y \right )} + \frac{1}{y}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (y \right )} + \frac{1}{y}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1               
  /               
 |                
 |  y - 1         
 |  ----- dy = -oo
 |     2          
 |    y           
 |                
/                 
0                 

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-1.3793236779486e+19

Ответ (Неопределённый)

  /                         
 |                          
 | y - 1          1         
 | ----- dy = C + - + log(y)
 |    2           y         
 |   y                      
 |                          
/                           

$$\log y+{{1}\over{y}}$$