Интеграл y^2/(y+1) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |     2    
 |    y     
 |  ----- dy
 |  y + 1   
 |          
/           
0           

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{y^{2}}{y + 1}\, dy$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{y^{2}}{y + 1} = y - 1 + \frac{1}{y + 1}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $y^{n}$ есть $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \left(-1\right)\, dy = - y$

   1. пусть $u = y + 1$.

      Тогда пусть $du = dy$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left(y + 1 \right)}$

   Результат есть: $\frac{y^{2}}{2} - y + \log{\left(y + 1 \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{y^{2}}{2} - y + \log{\left(y + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{y^{2}}{2} - y + \log{\left(y + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-1/2 + log(2)

$$- \frac{1}{2} + \log{\left(2 \right)}$$

=

=

-1/2 + log(2)

$$- \frac{1}{2} + \log{\left(2 \right)}$$

Численный ответ

0.193147180559945

Ответ (Неопределённый)

  /                                  
 |                                   
 |    2            2                 
 |   y            y                  
 | ----- dy = C + -- - y + log(1 + y)
 | y + 1          2                  
 |                                   
/                                    

$$\int \frac{y^{2}}{y + 1}\, dy = C + \frac{y^{2}}{2} - y + \log{\left(y + 1 \right)}$$

График