Интеграл (y^5)/(y+2) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |     5    
 |    y     
 |  ----- dy
 |  y + 2   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{y^{5}}{y + 2}\, dy$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{y^{5}}{y + 2} = y^{4} - 2 y^{3} + 4 y^{2} - 8 y + 16 - \frac{32}{y + 2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $y^{n}$ есть $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int y^{4}\, dy = \frac{y^{5}}{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2 y^{3}\, dy = - 2 \int y^{3}\, dy$

      1. Интеграл $y^{n}$ есть $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int y^{3}\, dy = \frac{y^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{y^{4}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 4 y^{2}\, dy = 4 \int y^{2}\, dy$

      1. Интеграл $y^{n}$ есть $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{4 y^{3}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 8 y\, dy = - 8 \int y\, dy$

      1. Интеграл $y^{n}$ есть $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- 4 y^{2}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 16\, dy = 16 y$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{32}{y + 2}\, dy = - 32 \int \frac{1}{y + 2}\, dy$

      1. пусть $u = y + 2$.

         Тогда пусть $du = dy$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (y + 2 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 32 \log{\left (y + 2 \right )}$

   Результат есть: $\frac{y^{5}}{5} - \frac{y^{4}}{2} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 y^{2} + 16 y - 32 \log{\left (y + 2 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{y^{5}}{5} - \frac{y^{4}}{2} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 y^{2} + 16 y - 32 \log{\left (y + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{y^{5}}{5} - \frac{y^{4}}{2} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 y^{2} + 16 y - 32 \log{\left (y + 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                       
  /                                       
 |                                        
 |     5                                  
 |    y        391                        
 |  ----- dy = --- - 32*log(3) + 32*log(2)
 |  y + 2       30                        
 |                                        
/                                         
0                                         

$$32\,\log 2-{{960\,\log 3-391}\over{30}}$$

Численный ответ

0.0584498738720731

Ответ (Неопределённый)

  /                                                           
 |                                                            
 |    5                                          4    5      3
 |   y                               2          y    y    4*y 
 | ----- dy = C - 32*log(2 + y) - 4*y  + 16*y - -- + -- + ----
 | y + 2                                        2    5     3  
 |                                                            
/                                                             

$${{6\,y^5-15\,y^4+40\,y^3-120\,y^2+480\,y}\over{30}}-32\,\log \left( y+2\right)$$