Интеграл (8*x-2)^7 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           7   
 |  (8*x - 2)  dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \left(8 x - 2\right)^{7}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 8 x - 2$.

      Тогда пусть $du = 8 dx$ и подставим $\frac{du}{8}$:

      $\int \frac{u^{7}}{64}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{7}}{8}\, du = \frac{\int u^{7}\, du}{8}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{8}}{64}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(8 x - 2\right)^{8}}{64}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(8 x - 2\right)^{7} = 2097152 x^{7} - 3670016 x^{6} + 2752512 x^{5} - 1146880 x^{4} + 286720 x^{3} - 43008 x^{2} + 3584 x - 128$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2097152 x^{7}\, dx = 2097152 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $262144 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 3670016 x^{6}\right)\, dx = - 3670016 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- 524288 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2752512 x^{5}\, dx = 2752512 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $458752 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 1146880 x^{4}\right)\, dx = - 1146880 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- 229376 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 286720 x^{3}\, dx = 286720 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $71680 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 43008 x^{2}\right)\, dx = - 43008 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- 14336 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3584 x\, dx = 3584 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $1792 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-128\right)\, dx = - 128 x$

      Результат есть: $262144 x^{8} - 524288 x^{7} + 458752 x^{6} - 229376 x^{5} + 71680 x^{4} - 14336 x^{3} + 1792 x^{2} - 128 x$

2. Теперь упростить:

   $4 \left(4 x - 1\right)^{8}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $4 \left(4 x - 1\right)^{8}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$4 \left(4 x - 1\right)^{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ

26240

$$26240$$

=

=

26240

$$26240$$

Численный ответ

26240.0

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              8
 |          7          (8*x - 2) 
 | (8*x - 2)  dx = C + ----------
 |                         64    
/                                

$$\int \left(8 x - 2\right)^{7}\, dx = C + \frac{\left(8 x - 2\right)^{8}}{64}$$

График