Интеграл x/(4-x) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |    x     
 |  ----- dx
 |  4 - x   
 |          
/           
0           

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{4 - x}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{4 - x} = -1 - \frac{4}{x - 4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{4}{x - 4}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

         1. пусть $u = x - 4$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x - 4 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- 4 \log{\left(x - 4 \right)}$

      Результат есть: $- x - 4 \log{\left(x - 4 \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{4 - x} = - \frac{x}{x - 4}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{x}{x - 4}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x - 4}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x - 4} = 1 + \frac{4}{x - 4}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{4}{x - 4}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

            1. пусть $u = x - 4$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x - 4 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $4 \log{\left(x - 4 \right)}$

         Результат есть: $x + 4 \log{\left(x - 4 \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- x - 4 \log{\left(x - 4 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x - 4 \log{\left(x - 4 \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x - 4 \log{\left(x - 4 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-1 - 4*log(3) + 4*log(4)

$$- 4 \log{\left(3 \right)} - 1 + 4 \log{\left(4 \right)}$$

=

=

-1 - 4*log(3) + 4*log(4)

$$- 4 \log{\left(3 \right)} - 1 + 4 \log{\left(4 \right)}$$

Численный ответ

0.150728289807124

Ответ (Неопределённый)

  /                                
 |                                 
 |   x                             
 | ----- dx = C - x - 4*log(-4 + x)
 | 4 - x                           
 |                                 
/                                  

$$\int \frac{x}{4 - x}\, dx = C - x - 4 \log{\left(x - 4 \right)}$$

График