Интеграл x/(4*x+1) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     x      
 |  ------- dx
 |  4*x + 1   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{4 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{4 x + 1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{16 x + 4}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{16 x + 4}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = 4 x + 1$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{4} \log{\left (4 x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{16} \log{\left (4 x + 1 \right )}$

   Результат есть: $\frac{x}{4} - \frac{1}{16} \log{\left (4 x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{4} - \frac{1}{16} \log{\left (4 x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{4} - \frac{1}{16} \log{\left (4 x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |     x         1   log(5)
 |  ------- dx = - - ------
 |  4*x + 1      4     16  
 |                         
/                          
0                          

$$-{{\log 5-4}\over{16}}$$

Численный ответ

0.149410130472869

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                                  
 |    x             log(1 + 4*x)   x
 | ------- dx = C - ------------ + -
 | 4*x + 1               16        4
 |                                  
/                                   

$${{x}\over{4}}-{{\log \left(4\,x+1\right)}\over{16}}$$