Интеграл x/(9-x^4) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
      /          
     |           
     |    x      
     |  ------ dx
     |       4   
     |  9 - x    
     |           
    /            
    0            
    01xx4+9dx\int_{0}^{1} \frac{x}{- x^{4} + 9}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      xx4+9=x6x2+18x6x218\frac{x}{- x^{4} + 9} = \frac{x}{6 x^{2} + 18} - \frac{x}{6 x^{2} - 18}

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        x6x2+18dx=16xx2+3dx\int \frac{x}{6 x^{2} + 18}\, dx = \frac{1}{6} \int \frac{x}{x^{2} + 3}\, dx

        1. пусть u=x2+3u = x^{2} + 3.

          Тогда пусть du=2xdxdu = 2 x dx и подставим du2\frac{du}{2}:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1udu=121udu\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Таким образом, результат будет: 12log(u)\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          12log(x2+3)\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 3 \right )}

        Таким образом, результат будет: 112log(x2+3)\frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + 3 \right )}

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        x6x218dx=16xx23dx\int - \frac{x}{6 x^{2} - 18}\, dx = - \frac{1}{6} \int \frac{x}{x^{2} - 3}\, dx

        1. пусть u=x23u = x^{2} - 3.

          Тогда пусть du=2xdxdu = 2 x dx и подставим du2\frac{du}{2}:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1udu=121udu\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Таким образом, результат будет: 12log(u)\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          12log(x23)\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - 3 \right )}

        Таким образом, результат будет: 112log(x23)- \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - 3 \right )}

      Результат есть: 112log(x23)+112log(x2+3)- \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - 3 \right )} + \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + 3 \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      112log(x23)+112log(x2+3)+constant- \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - 3 \right )} + \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + 3 \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    112log(x23)+112log(x2+3)+constant- \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - 3 \right )} + \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + 3 \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-1010
    Ответ [src]
      1                              
      /                              
     |                               
     |    x           log(2)   log(4)
     |  ------ dx = - ------ + ------
     |       4          12       12  
     |  9 - x                        
     |                               
    /                                
    0                                
    log412log212{{\log 4}\over{12}}-{{\log 2}\over{12}}
    Численный ответ [src]
    0.0577622650466621
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                          
     |                    /      2\      /     2\
     |   x             log\-3 + x /   log\3 + x /
     | ------ dx = C - ------------ + -----------
     |      4               12             12    
     | 9 - x                                     
     |                                           
    /                                            
    log(x2+3)12log(x23)12{{\log \left(x^2+3\right)}\over{12}}-{{\log \left(x^2-3\right) }\over{12}}