Интеграл x/(9-x^4) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    x      
 |  ------ dx
 |       4   
 |  9 - x    
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{- x^{4} + 9}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{- x^{4} + 9} = \frac{x}{6 x^{2} + 18} - \frac{x}{6 x^{2} - 18}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{6 x^{2} + 18}\, dx = \frac{1}{6} \int \frac{x}{x^{2} + 3}\, dx$

      1. пусть $u = x^{2} + 3$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 3 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + 3 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x}{6 x^{2} - 18}\, dx = - \frac{1}{6} \int \frac{x}{x^{2} - 3}\, dx$

      1. пусть $u = x^{2} - 3$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} - 3 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - 3 \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - 3 \right )} + \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + 3 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - 3 \right )} + \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} - 3 \right )} + \frac{1}{12} \log{\left (x^{2} + 3 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                              
  /                              
 |                               
 |    x           log(2)   log(4)
 |  ------ dx = - ------ + ------
 |       4          12       12  
 |  9 - x                        
 |                               
/                                
0                                

$${{\log 4}\over{12}}-{{\log 2}\over{12}}$$

Численный ответ

0.0577622650466621

Ответ (Неопределённый)

  /                                          
 |                    /      2\      /     2\
 |   x             log\-3 + x /   log\3 + x /
 | ------ dx = C - ------------ + -----------
 |      4               12             12    
 | 9 - x                                     
 |                                           
/                                            

$${{\log \left(x^2+3\right)}\over{12}}-{{\log \left(x^2-3\right) }\over{12}}$$