Интеграл x/2*(x+1) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |  x           
 |  -*(x + 1) dx
 |  2           
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{2} \left(x + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{2} \left(x + 1\right) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x^{2}}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{3}}{6}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

   Результат есть: $\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{4}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{12} \left(2 x + 3\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{12} \left(2 x + 3\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{12} \left(2 x + 3\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |  x                  
 |  -*(x + 1) dx = 5/12
 |  2                  
 |                     
/                      
0                      

$${{5}\over{12}}$$

Численный ответ

0.416666666666667

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                     2    3
 | x                  x    x 
 | -*(x + 1) dx = C + -- + --
 | 2                  4    6 
 |                           
/                            

$${{2\,x^3+3\,x^2}\over{12}}$$