Интеграл x/(1-3*x) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     x      
 |  ------- dx
 |  1 - 3*x   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{- 3 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{- 3 x + 1} = - \frac{1}{3} - \frac{1}{9 x - 3}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int - \frac{1}{3}\, dx = - \frac{x}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{9 x - 3}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = 3 x - 1$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \log{\left (3 x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{9} \log{\left (3 x - 1 \right )}$

   Результат есть: $- \frac{x}{3} - \frac{1}{9} \log{\left (3 x - 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x}{3} - \frac{1}{9} \log{\left (3 x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{x}{3} - \frac{1}{9} \log{\left (3 x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |     x           1   log(2)   pi*I
 |  ------- dx = - - - ------ + ----
 |  1 - 3*x        3     9       9  
 |                                  
/                                   
0                                   

$$-{{\log 2}\over{9}}-{{1}\over{3}}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                  
 |                                   
 |    x             x   log(-1 + 3*x)
 | ------- dx = C - - - -------------
 | 1 - 3*x          3         9      
 |                                   
/                                    

$$-{{\log \left(3\,x-1\right)}\over{9}}-{{x}\over{3}}$$