Интеграл x/(1+3*x) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     x      
 |  ------- dx
 |  1 + 3*x   
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{3 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{3 x + 1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot \left(3 x + 1\right)}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{3}\, dx = \frac{x}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{3 \cdot \left(3 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{3 x + 1}\, dx}{3}$

      1. пусть $u = 3 x + 1$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{9 u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{3 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{9}$

   Результат есть: $\frac{x}{3} - \frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{9}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{3} - \frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{3} - \frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1   log(4)
- - ------
3     9   

$$\frac{1}{3} - \frac{\log{\left(4 \right)}}{9}$$

=

=

1   log(4)
- - ------
3     9   

$$\frac{1}{3} - \frac{\log{\left(4 \right)}}{9}$$

Численный ответ

0.179300626542234

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                                  
 |    x             log(1 + 3*x)   x
 | ------- dx = C - ------------ + -
 | 1 + 3*x               9         3
 |                                  
/                                   

$$\int \frac{x}{3 x + 1}\, dx = C + \frac{x}{3} - \frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{9}$$

График