Интеграл x/(16-x^4) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     x      
 |  ------- dx
 |        4   
 |  16 - x    
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{16 - x^{4}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{2}$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{1}{2 u^{2} - 32}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{2 u^{2} - 32}\right)\, du = - \int \frac{1}{2 u^{2} - 32}\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{2 u^{2} - 32} = \frac{- \frac{1}{u + 4} + \frac{1}{u - 4}}{16}$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{- \frac{1}{u + 4} + \frac{1}{u - 4}}{16}\, du = \frac{\int \left(- \frac{1}{u + 4} + \frac{1}{u - 4}\right)\, du}{16}$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл $\frac{1}{u - 4}$ есть $\log{\left(u - 4 \right)}$.

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \frac{1}{u + 4}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 4}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u + 4}$ есть $\log{\left(u + 4 \right)}$.

                  Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u + 4 \right)}$

               Результат есть: $\log{\left(u - 4 \right)} - \log{\left(u + 4 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u - 4 \right)}}{16} - \frac{\log{\left(u + 4 \right)}}{16}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u - 4 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(u + 4 \right)}}{16}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{16 - x^{4}} = \frac{x}{8 \left(x^{2} + 4\right)} - \frac{1}{16 \left(x + 2\right)} - \frac{1}{16 \left(x - 2\right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{x}{8 \left(x^{2} + 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x}{x^{2} + 4}\, dx}{8}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{x}{x^{2} + 4}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 4}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = x^{2} + 4$.

               Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x^{2} + 4 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{16 \left(x + 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{16}$

         1. пусть $u = x + 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 2 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{16 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{16}$

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{16}$

      Результат есть: $- \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{16} - \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{16 - x^{4}} = - \frac{x}{x^{4} - 16}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{x}{x^{4} - 16}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{4} - 16}\, dx$

      1. пусть $u = x^{2}$.

         Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{2 u^{2} - 32}\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{2 u^{2} - 32} = \frac{- \frac{1}{u + 4} + \frac{1}{u - 4}}{16}$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{- \frac{1}{u + 4} + \frac{1}{u - 4}}{16}\, du = \frac{\int \left(- \frac{1}{u + 4} + \frac{1}{u - 4}\right)\, du}{16}$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл $\frac{1}{u - 4}$ есть $\log{\left(u - 4 \right)}$.

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \frac{1}{u + 4}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 4}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u + 4}$ есть $\log{\left(u + 4 \right)}$.

                  Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u + 4 \right)}$

               Результат есть: $\log{\left(u - 4 \right)} - \log{\left(u + 4 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u - 4 \right)}}{16} - \frac{\log{\left(u + 4 \right)}}{16}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{16} - \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  log(3)   log(5)
- ------ + ------
    16       16  

$$- \frac{\log{\left(3 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{16}$$

=

=

  log(3)   log(5)
- ------ + ------
    16       16  

$$- \frac{\log{\left(3 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{16}$$

Численный ответ

0.0319266014853744

Ответ (Неопределённый)

  /                                           
 |                     /      2\      /     2\
 |    x             log\-4 + x /   log\4 + x /
 | ------- dx = C - ------------ + -----------
 |       4               16             16    
 | 16 - x                                     
 |                                            
/                                             

$$\int \frac{x}{16 - x^{4}}\, dx = C - \frac{\log{\left(x^{2} - 4 \right)}}{16} + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{16}$$

График