Интеграл x/(16+x^2) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     x      
 |  ------- dx
 |        2   
 |  16 + x    
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 16}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /          
 |           
 |    x      
 | ------- dx
 |       2   
 | 16 + x    
 |           
/            

Перепишем подинтегральную функцию

          /     2*x     \             
          |-------------|             
          | 2           |             
   x      \x  + 0*x + 16/       0     
------- = --------------- + ----------
      2          2               2    
16 + x                      /-x \     
                            |---|  + 1
                            \ 4 /     

или

  /            
 |             
 |    x        
 | ------- dx  
 |       2    =
 | 16 + x      
 |             
/              
  

  /                
 |                 
 |      2*x        
 | ------------- dx
 |  2              
 | x  + 0*x + 16   
 |                 
/                  
-------------------
         2         

В интеграле

  /                
 |                 
 |      2*x        
 | ------------- dx
 |  2              
 | x  + 0*x + 16   
 |                 
/                  
-------------------
         2         

сделаем замену

     2
u = x 

тогда

интеграл =

  /                       
 |                        
 |   1                    
 | ------ du              
 | 16 + u                 
 |                        
/              log(16 + u)
------------ = -----------
     2              2     

делаем обратную замену

  /                               
 |                                
 |      2*x                       
 | ------------- dx               
 |  2                             
 | x  + 0*x + 16                  
 |                       /      2\
/                     log\16 + x /
------------------- = ------------
         2                 2      

В интеграле

0

сделаем замену

    -x 
v = ---
     4 

тогда

интеграл =

True

делаем обратную замену

True

Решением будет:

       /      2\
    log\16 + x /
C + ------------
         2      

Ответ

  1                               
  /                               
 |                                
 |     x         log(17)   log(16)
 |  ------- dx = ------- - -------
 |        2         2         2   
 |  16 + x                        
 |                                
/                                 
0                                 

$${{\log 17}\over{2}}-{{\log 16}\over{2}}$$

Численный ответ

0.0303123109082174

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                     /      2\
 |    x             log\16 + x /
 | ------- dx = C + ------------
 |       2               2      
 | 16 + x                       
 |                              
/                               

$${{\log \left(x^2+16\right)}\over{2}}$$