Интеграл x/(3-x)^7 (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     x       
 |  -------- dx
 |         7   
 |  (3 - x)    
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(3 - x\right)^{7}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(3 - x\right)^{7}} = - \frac{1}{\left(x - 3\right)^{6}} - \frac{3}{\left(x - 3\right)^{7}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{\left(x - 3\right)^{6}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 3\right)^{6}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{6}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{5 \left(x - 3\right)^{5}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{5 \left(x - 3\right)^{5}}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{3}{\left(x - 3\right)^{7}}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{\left(x - 3\right)^{7}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{7}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{6 \left(x - 3\right)^{6}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{6}}$

      Результат есть: $\frac{1}{5 \left(x - 3\right)^{5}} + \frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{6}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(3 - x\right)^{7}} = - \frac{x}{x^{7} - 21 x^{6} + 189 x^{5} - 945 x^{4} + 2835 x^{3} - 5103 x^{2} + 5103 x - 2187}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{x}{x^{7} - 21 x^{6} + 189 x^{5} - 945 x^{4} + 2835 x^{3} - 5103 x^{2} + 5103 x - 2187}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{7} - 21 x^{6} + 189 x^{5} - 945 x^{4} + 2835 x^{3} - 5103 x^{2} + 5103 x - 2187}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x^{7} - 21 x^{6} + 189 x^{5} - 945 x^{4} + 2835 x^{3} - 5103 x^{2} + 5103 x - 2187} = \frac{1}{\left(x - 3\right)^{6}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{7}}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{6}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{5 \left(x - 3\right)^{5}}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{\left(x - 3\right)^{7}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\left(x - 3\right)^{7}}\, dx$

            1. пусть $u = x - 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u^{7}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{6 \left(x - 3\right)^{6}}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{6}}$

         Результат есть: $- \frac{1}{5 \left(x - 3\right)^{5}} - \frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{6}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{5 \left(x - 3\right)^{5}} + \frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{6}}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\left(3 - x\right)^{7}} = \frac{x}{- x^{7} + 21 x^{6} - 189 x^{5} + 945 x^{4} - 2835 x^{3} + 5103 x^{2} - 5103 x + 2187}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{- x^{7} + 21 x^{6} - 189 x^{5} + 945 x^{4} - 2835 x^{3} + 5103 x^{2} - 5103 x + 2187} = - \frac{1}{\left(x - 3\right)^{6}} - \frac{3}{\left(x - 3\right)^{7}}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{\left(x - 3\right)^{6}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x - 3\right)^{6}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{6}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{5 \left(x - 3\right)^{5}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{5 \left(x - 3\right)^{5}}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{3}{\left(x - 3\right)^{7}}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{\left(x - 3\right)^{7}}\, dx$

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{7}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{6 \left(x - 3\right)^{6}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{6}}$

      Результат есть: $\frac{1}{5 \left(x - 3\right)^{5}} + \frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{6}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{2 x - 1}{10 \left(x - 3\right)^{6}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2 x - 1}{10 \left(x - 3\right)^{6}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{2 x - 1}{10 \left(x - 3\right)^{6}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

 793  
------
466560

$$\frac{793}{466560}$$

=

=

 793  
------
466560

$$\frac{793}{466560}$$

Численный ответ

0.00169967421124829

Ответ (Неопределённый)

  /                                           
 |                                            
 |    x                   1             1     
 | -------- dx = C + ----------- + -----------
 |        7                    6             5
 | (3 - x)           2*(-3 + x)    5*(-3 + x) 
 |                                            
/                                             

$$\int \frac{x}{\left(3 - x\right)^{7}}\, dx = C + \frac{1}{5 \left(x - 3\right)^{5}} + \frac{1}{2 \left(x - 3\right)^{6}}$$

График