Интеграл x/(x-y) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |    x     
 |  ----- dx
 |  x - y   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{x - y}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{x - y} = \frac{y}{x - y} + 1$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{y}{x - y}\, dx = y \int \frac{1}{x - y}\, dx$

      1. пусть $u = x - y$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - y \right )}$

      Таким образом, результат будет: $y \log{\left (x - y \right )}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Результат есть: $x + y \log{\left (x - y \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + y \log{\left (x - y \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + y \log{\left (x - y \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                        
  /                                        
 |                                         
 |    x                                    
 |  ----- dx = 1 + y*log(1 - y) - y*log(-y)
 |  x - y                                  
 |                                         
/                                          
0                                          

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{x - y}\, dx = - y \log{\left (- y \right )} + y \log{\left (- y + 1 \right )} + 1$$

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                                
 |   x                            
 | ----- dx = C + x + y*log(x - y)
 | x - y                          
 |                                
/                                 

$$\log \left(x-y\right)\,y+x$$