Интеграл (x-2)*log(x+1) (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |  (x - 2)*log(x + 1) dx
 |                       
/                        
0                        

$$\int_{0}^{1} \left(x - 2\right) \log{\left (x + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(x - 2\right) \log{\left (x + 1 \right )} = x \log{\left (x + 1 \right )} - 2 \log{\left (x + 1 \right )}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 1}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x^{2}}{2 x + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -1\, dx = - x$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 2 \log{\left (x + 1 \right )}\, dx = - 2 \int \log{\left (x + 1 \right )}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \log{\left (u \right )}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- x + \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )} - 1$

         Метод #2

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 1}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

         3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

            Результат есть: $x - \log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $2 x - 2 \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )} + 2$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} - 2 \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )} + 2$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{x^{2}}{4} - 2 x \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{5 x}{2} - \frac{5}{2} \log{\left (x + 1 \right )} + 2$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{x^{2}}{4} - 2 x \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{5 x}{2} - \frac{5}{2} \log{\left (x + 1 \right )} + 2+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x + 1 \right )} - \frac{x^{2}}{4} - 2 x \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{5 x}{2} - \frac{5}{2} \log{\left (x + 1 \right )} + 2+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                       
  /                                       
 |                                        
 |  (x - 2)*log(x + 1) dx = 9/4 - 4*log(2)
 |                                        
/                                         
0                                         

$${{9}\over{4}}-4\,\log 2$$

Численный ответ

-0.522588722239781

Ответ (Неопределённый)

  /                                              2          2                                  
 |                                 log(1 + x)   x    5*x   x *log(x + 1)                       
 | (x - 2)*log(x + 1) dx = 2 + C - ---------- - -- + --- + ------------- - 2*(x + 1)*log(x + 1)
 |                                     2        4     2          2                             
/                                                                                              

$$\left({{x^2}\over{2}}-2\,x\right)\,\log \left(x+1\right)-{{5\,\log \left(x+1\right)}\over{2}}-{{x^2-10\,x}\over{4}}$$