Интеграл (x-y)^2 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1            
      /            
     |             
     |         2   
     |  (x - y)  dx
     |             
    /              
    0              
    01(xy)2dx\int\limits_{0}^{1} \left(x - y\right)^{2}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=xyu = x - y.

        Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

        u2du\int u^{2}\, du

        1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

          u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        (xy)33\frac{\left(x - y\right)^{3}}{3}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        (xy)2=x22xy+y2\left(x - y\right)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

          x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          (2xy)dx=2yxdx\int \left(- 2 x y\right)\, dx = - 2 y \int x\, dx

          1. Интеграл xnx^{n} есть xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} когда n1n \neq -1:

            xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Таким образом, результат будет: x2y- x^{2} y

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          y2dx=xy2\int y^{2}\, dx = x y^{2}

        Результат есть: x33x2y+xy2\frac{x^{3}}{3} - x^{2} y + x y^{2}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      (xy)33+constant\frac{\left(x - y\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    (xy)33+constant\frac{\left(x - y\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}

    Ответ [src]
    1    2    
    - + y  - y
    3         
    y2y+13y^{2} - y + \frac{1}{3}
    =
    =
    1    2    
    - + y  - y
    3         
    y2y+13y^{2} - y + \frac{1}{3}
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                          
     |                          3
     |        2          (x - y) 
     | (x - y)  dx = C + --------
     |                      3    
    /                            
    (xy)2dx=C+(xy)33\int \left(x - y\right)^{2}\, dx = C + \frac{\left(x - y\right)^{3}}{3}