Интеграл (x+4)*log(x) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |  (x + 4)*log(x) dx
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} \left(x + 4\right) \log{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(x + 4\right) \log{\left (x \right )} = x \log{\left (x \right )} + 4 \log{\left (x \right )}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 4 \log{\left (x \right )}\, dx = 4 \int \log{\left (x \right )}\, dx$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Таким образом, результат будет: $4 x \log{\left (x \right )} - 4 x$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x \right )} - \frac{x^{2}}{4} + 4 x \log{\left (x \right )} - 4 x$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x}{4} \left(2 x \log{\left (x \right )} - x + 16 \log{\left (x \right )} - 16\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{4} \left(2 x \log{\left (x \right )} - x + 16 \log{\left (x \right )} - 16\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{4} \left(2 x \log{\left (x \right )} - x + 16 \log{\left (x \right )} - 16\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                          
  /                          
 |                           
 |  (x + 4)*log(x) dx = -17/4
 |                           
/                            
0                            

$$-{{17}\over{4}}$$

Численный ответ

-4.25

Ответ (Неопределённый)

  /                               2    2                    
 |                               x    x *log(x)             
 | (x + 4)*log(x) dx = C - 4*x - -- + --------- + 4*x*log(x)
 |                               4        2                 
/                                                           

$$\left({{x^2}\over{2}}+4\,x\right)\,\log x-{{x^2+16\,x}\over{4}}$$