Интеграл (x+2)/(3-x) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  x + 2   
 |  ----- dx
 |  3 - x   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x + 2}{- x + 3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x + 3$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u} \left(u - 5\right)\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u} \left(u - 5\right) = 1 - \frac{5}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{5}{u}\, du = - 5 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- 5 \log{\left (u \right )}$

         Результат есть: $u - 5 \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x - 5 \log{\left (- x + 3 \right )} + 3$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 2}{- x + 3} = -1 - \frac{5}{x - 3}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int -1\, dx = - x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{5}{x - 3}\, dx = - 5 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 3 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 5 \log{\left (x - 3 \right )}$

      Результат есть: $- x - 5 \log{\left (x - 3 \right )}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 2}{- x + 3} = \frac{x}{- x + 3} + \frac{2}{- x + 3}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{- x + 3} = -1 - \frac{3}{x - 3}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -1\, dx = - x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{3}{x - 3}\, dx = - 3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

            1. пусть $u = x - 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 3 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 3 \log{\left (x - 3 \right )}$

         Результат есть: $- x - 3 \log{\left (x - 3 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{- x + 3}\, dx = 2 \int \frac{1}{- x + 3}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = - x + 3$.

               Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \log{\left (- x + 3 \right )}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{- x + 3} = - \frac{1}{x - 3}$

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{x - 3}\, dx = - \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

               1. пусть $u = x - 3$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 3 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x - 3 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (- x + 3 \right )}$

      Результат есть: $- x - 2 \log{\left (- x + 3 \right )} - 3 \log{\left (x - 3 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x - 5 \log{\left (- x + 3 \right )} + 3+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x - 5 \log{\left (- x + 3 \right )} + 3+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |  x + 2                              
 |  ----- dx = -1 - 5*log(2) + 5*log(3)
 |  3 - x                              
 |                                     
/                                      
0                                      

$$5\,\log 3-5\,\log 2-1$$

Численный ответ

1.02732554054082

Ответ (Неопределённый)

  /                                   
 |                                    
 | x + 2                              
 | ----- dx = 3 + C - x - 5*log(3 - x)
 | 3 - x                              
 |                                    
/                                     

$$-x-5\,\log \left(x-3\right)$$