Интеграл (x+2)*3^x (dx)

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $3^{x} \left(x + 2\right) = 3^{x} x + 2 \cdot 3^{x}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\frac{3^{x}}{\log^{3}{\left (3 \right )}} \left(x \log^{2}{\left (3 \right )} - \log{\left (3 \right )}\right)$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \cdot 3^{x}\, dx = 2 \int 3^{x}\, dx$

      1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

         $\int 3^{x}\, dx = \frac{3^{x}}{\log{\left (3 \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cdot 3^{x}}{\log{\left (3 \right )}}$

   Результат есть: $\frac{3^{x}}{\log^{3}{\left (3 \right )}} \left(x \log^{2}{\left (3 \right )} - \log{\left (3 \right )}\right) + \frac{2 \cdot 3^{x}}{\log{\left (3 \right )}}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{3^{x}}{\log^{2}{\left (3 \right )}} \left(x \log{\left (3 \right )} - 1 + \log{\left (9 \right )}\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3^{x}}{\log^{2}{\left (3 \right )}} \left(x \log{\left (3 \right )} - 1 + \log{\left (9 \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3^{x}}{\log^{2}{\left (3 \right )}} \left(x \log{\left (3 \right )} - 1 + \log{\left (9 \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                
  /                                                                
 |                                   2        /               2   \
 |           x        -log(3) + 2*log (3)   3*\-log(3) + 3*log (3)/
 |  (x + 2)*3  dx = - ------------------- + -----------------------
 |                             3                       3           
/                           log (3)                 log (3)        
0                                                                  

$${{9\,\log 3-3}\over{\left(\log 3\right)^2}}-{{2\,\log 3-1}\over{ \left(\log 3\right)^2}}$$

Численный ответ

4.71460368700742

Ответ (Неопределённый)

  /                                                     
 |                         x     x /               2   \
 |          x           2*3     3 *\-log(3) + x*log (3)/
 | (x + 2)*3  dx = C + ------ + ------------------------
 |                     log(3)              3            
/                                       log (3)         

$${{\left(\log 3\,x-1\right)\,e^{\log 3\,x}}\over{\left(\log 3\right) ^2}}+{{2\,3^{x}}\over{\log 3}}$$