Интеграл (x+1)/(x-3) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1         
      /         
     |          
     |  x + 1   
     |  ----- dx
     |  x - 3   
     |          
    /           
    0           
    01x+1x3dx\int_{0}^{1} \frac{x + 1}{x - 3}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x+1x3=1+4x3\frac{x + 1}{x - 3} = 1 + \frac{4}{x - 3}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          4x3dx=41x3dx\int \frac{4}{x - 3}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 3}\, dx

          1. пусть u=x3u = x - 3.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x3)\log{\left (x - 3 \right )}

          Таким образом, результат будет: 4log(x3)4 \log{\left (x - 3 \right )}

        Результат есть: x+4log(x3)x + 4 \log{\left (x - 3 \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x+1x3=xx3+1x3\frac{x + 1}{x - 3} = \frac{x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          xx3=1+3x3\frac{x}{x - 3} = 1 + \frac{3}{x - 3}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1dx=x\int 1\, dx = x

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            3x3dx=31x3dx\int \frac{3}{x - 3}\, dx = 3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx

            1. пусть u=x3u = x - 3.

              Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(x3)\log{\left (x - 3 \right )}

            Таким образом, результат будет: 3log(x3)3 \log{\left (x - 3 \right )}

          Результат есть: x+3log(x3)x + 3 \log{\left (x - 3 \right )}

        1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. пусть u=x3u = x - 3.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x3)\log{\left (x - 3 \right )}

          Метод #2

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

            1x3=1x3\frac{1}{x - 3} = \frac{1}{x - 3}

          2. пусть u=x3u = x - 3.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x3)\log{\left (x - 3 \right )}

        Результат есть: x+3log(x3)+log(x3)x + 3 \log{\left (x - 3 \right )} + \log{\left (x - 3 \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      x+4log(x3)+constantx + 4 \log{\left (x - 3 \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x+4log(x3)+constantx + 4 \log{\left (x - 3 \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-100100
    Ответ [src]
      1                                   
      /                                   
     |                                    
     |  x + 1                             
     |  ----- dx = 1 - 4*log(3) + 4*log(2)
     |  x - 3                             
     |                                    
    /                                     
    0                                     
    4log3+4log2+1-4\,\log 3+4\,\log 2+1
    Численный ответ [src]
    -0.621860432432658
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                
     |                                 
     | x + 1                           
     | ----- dx = C + x + 4*log(-3 + x)
     | x - 3                           
     |                                 
    /                                  
    x+4log(x3)x+4\,\log \left(x-3\right)