Интеграл (x+1)/x^3 (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  x + 1   
 |  ----- dx
 |     3    
 |    x     
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3}} \left(x + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{3}} \left(x + 1\right) = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

      Результат есть: $- \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{3}} \left(x + 1\right) = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}}$

      2. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      Результат есть: $- \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{x^{2}} \left(x + \frac{1}{2}\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{x^{2}} \left(x + \frac{1}{2}\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2}} \left(x + \frac{1}{2}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1              
  /              
 |               
 |  x + 1        
 |  ----- dx = oo
 |     3         
 |    x          
 |               
/                
0                

$${\it \%a}$$

Численный ответ

9.15365037903492e+37

Ответ (Неопределённый)

  /                       
 |                        
 | x + 1          1    1  
 | ----- dx = C - - - ----
 |    3           x      2
 |   x                2*x 
 |                        
/                         

$$-{{2\,x+1}\over{2\,x^2}}$$