Интеграл (x+1)*atan(x) (dx)

Вы ввели

  1                   
  /                   
 |                    
 |  (x + 1)*atan(x) dx
 |                    
/                     
0                     

$$\int_{0}^{1} \left(x + 1\right) \operatorname{atan}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(x + 1\right) \operatorname{atan}{\left (x \right )} = x \operatorname{atan}{\left (x \right )} + \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x^{2} + 1}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x^{2}}{2 x^{2} + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

            1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (x \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

         Результат есть: $x - \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x^{2} + 1}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. пусть $u = x^{2} + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )} + x \operatorname{atan}{\left (x \right )} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )} + x \operatorname{atan}{\left (x \right )} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )} + x \operatorname{atan}{\left (x \right )} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                       
  /                                       
 |                         1   pi   log(2)
 |  (x + 1)*atan(x) dx = - - + -- - ------
 |                         2   2      2   
/                                         
0                                         

$$-{{\log 2}\over{2}}+{{\pi}\over{2}}-{{1}\over{2}}$$

Численный ответ

0.724222736514924

Ответ (Неопределённый)

  /                                          /     2\                2        
 |                          atan(x)   x   log\1 + x /               x *atan(x)
 | (x + 1)*atan(x) dx = C + ------- - - - ----------- + x*atan(x) + ----------
 |                             2      2        2                        2     
/                                                                             

$$-{{\log \left(x^2+1\right)}\over{2}}+\left({{x^2}\over{2}}+x\right) \,\arctan x+{{\arctan x}\over{2}}-{{x}\over{2}}$$