Интеграл (x+1)*e^(-x) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1               
      /               
     |                
     |           -x   
     |  (x + 1)*E   dx
     |                
    /                 
    0                 
    01ex(x+1)dx\int_{0}^{1} e^{- x} \left(x + 1\right)\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=xu = - x.

        Тогда пусть du=dxdu = - dx и подставим dudu:

        ueueudu\int u e^{u} - e^{u}\, du

        1. Интегрируем почленно:

          1. Используем интегрирование по частям:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            пусть u(u)=uu{\left (u \right )} = u и пусть dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u} dx.

            Затем du(u)=1\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1 dx.

            Чтобы найти v(u)v{\left (u \right )}:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            eudu=eudu\int - e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Таким образом, результат будет: eu- e^{u}

          Результат есть: ueu2euu e^{u} - 2 e^{u}

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        xex2ex- x e^{- x} - 2 e^{- x}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        ex(x+1)=xex+exe^{- x} \left(x + 1\right) = x e^{- x} + e^{- x}

      2. Интегрируем почленно:

        1. пусть u=xu = - x.

          Тогда пусть du=dxdu = - dx и подставим dudu:

          ueudu\int u e^{u}\, du

          1. Используем интегрирование по частям:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            пусть u(u)=uu{\left (u \right )} = u и пусть dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u} dx.

            Затем du(u)=1\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1 dx.

            Чтобы найти v(u)v{\left (u \right )}:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          xexex- x e^{- x} - e^{- x}

        1. пусть u=xu = - x.

          Тогда пусть du=dxdu = - dx и подставим du- du:

          eudu\int e^{u}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            eudu=eudu\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Таким образом, результат будет: eu- e^{u}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          ex- e^{- x}

        Результат есть: xex2ex- x e^{- x} - 2 e^{- x}

    2. Теперь упростить:

      (x+2)ex- \left(x + 2\right) e^{- x}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      (x+2)ex+constant- \left(x + 2\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    (x+2)ex+constant- \left(x + 2\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-500000500000
    Ответ [src]
      1                           
      /                           
     |                            
     |           -x             -1
     |  (x + 1)*E   dx = 2 - 3*e  
     |                            
    /                             
    0                             
    (E2)logE+E1E(logE)2{{\left(E-2\right)\,\log E+E-1}\over{E\,\left(\log E\right)^2}}
    Численный ответ [src]
    0.896361676485673
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                  
     |                                   
     |          -x             -x      -x
     | (x + 1)*E   dx = C - 2*e   - x*e  
     |                                   
    /                                    
    (logEx+1)elogEx(logE)21ExlogE-{{\left(\log E\,x+1\right)\,e^ {- \log E\,x }}\over{\left(\log E \right)^2}}-{{1}\over{E^{x}\,\log E}}