Интеграл (x+5)/(x-7) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |  x + 5   
 |  ----- dx
 |  x - 7   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{x + 5}{x - 7}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 5}{x - 7} = 1 + \frac{12}{x - 7}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{12}{x - 7}\, dx = 12 \int \frac{1}{x - 7}\, dx$

         1. пусть $u = x - 7$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 7 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $12 \log{\left (x - 7 \right )}$

      Результат есть: $x + 12 \log{\left (x - 7 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x + 5}{x - 7} = \frac{x}{x - 7} + \frac{5}{x - 7}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x - 7} = 1 + \frac{7}{x - 7}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{7}{x - 7}\, dx = 7 \int \frac{1}{x - 7}\, dx$

            1. пусть $u = x - 7$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 7 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $7 \log{\left (x - 7 \right )}$

         Результат есть: $x + 7 \log{\left (x - 7 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{5}{x - 7}\, dx = 5 \int \frac{1}{x - 7}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = x - 7$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 7 \right )}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{x - 7} = \frac{1}{x - 7}$

            2. пусть $u = x - 7$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 7 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $5 \log{\left (x - 7 \right )}$

      Результат есть: $x + 5 \log{\left (x - 7 \right )} + 7 \log{\left (x - 7 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + 12 \log{\left (x - 7 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + 12 \log{\left (x - 7 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                     
  /                                     
 |                                      
 |  x + 5                               
 |  ----- dx = 1 - 12*log(7) + 12*log(6)
 |  x - 7                               
 |                                      
/                                       
0                                       

$$-12\,\log 7+12\,\log 6+1$$

Численный ответ

-0.8498081579271

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                                  
 | x + 5                            
 | ----- dx = C + x + 12*log(-7 + x)
 | x - 7                            
 |                                  
/                                   

$$x+12\,\log \left(x-7\right)$$