Интеграл (x+5)/(x-7) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1         
      /         
     |          
     |  x + 5   
     |  ----- dx
     |  x - 7   
     |          
    /           
    0           
    01x+5x7dx\int_{0}^{1} \frac{x + 5}{x - 7}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x+5x7=1+12x7\frac{x + 5}{x - 7} = 1 + \frac{12}{x - 7}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          12x7dx=121x7dx\int \frac{12}{x - 7}\, dx = 12 \int \frac{1}{x - 7}\, dx

          1. пусть u=x7u = x - 7.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x7)\log{\left (x - 7 \right )}

          Таким образом, результат будет: 12log(x7)12 \log{\left (x - 7 \right )}

        Результат есть: x+12log(x7)x + 12 \log{\left (x - 7 \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x+5x7=xx7+5x7\frac{x + 5}{x - 7} = \frac{x}{x - 7} + \frac{5}{x - 7}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          xx7=1+7x7\frac{x}{x - 7} = 1 + \frac{7}{x - 7}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1dx=x\int 1\, dx = x

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            7x7dx=71x7dx\int \frac{7}{x - 7}\, dx = 7 \int \frac{1}{x - 7}\, dx

            1. пусть u=x7u = x - 7.

              Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(x7)\log{\left (x - 7 \right )}

            Таким образом, результат будет: 7log(x7)7 \log{\left (x - 7 \right )}

          Результат есть: x+7log(x7)x + 7 \log{\left (x - 7 \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          5x7dx=51x7dx\int \frac{5}{x - 7}\, dx = 5 \int \frac{1}{x - 7}\, dx

          1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть u=x7u = x - 7.

              Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(x7)\log{\left (x - 7 \right )}

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

              1x7=1x7\frac{1}{x - 7} = \frac{1}{x - 7}

            2. пусть u=x7u = x - 7.

              Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(x7)\log{\left (x - 7 \right )}

          Таким образом, результат будет: 5log(x7)5 \log{\left (x - 7 \right )}

        Результат есть: x+5log(x7)+7log(x7)x + 5 \log{\left (x - 7 \right )} + 7 \log{\left (x - 7 \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      x+12log(x7)+constantx + 12 \log{\left (x - 7 \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x+12log(x7)+constantx + 12 \log{\left (x - 7 \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-500500
    Ответ [src]
      1                                     
      /                                     
     |                                      
     |  x + 5                               
     |  ----- dx = 1 - 12*log(7) + 12*log(6)
     |  x - 7                               
     |                                      
    /                                       
    0                                       
    12log7+12log6+1-12\,\log 7+12\,\log 6+1
    Численный ответ [src]
    -0.8498081579271
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                 
     |                                  
     | x + 5                            
     | ----- dx = C + x + 12*log(-7 + x)
     | x - 7                            
     |                                  
    /                                   
    x+12log(x7)x+12\,\log \left(x-7\right)