Интеграл (x+5)*sin(x) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |  (x + 5)*sin(x) dx
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} \left(x + 5\right) \sin{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = x + 5$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \sin{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x + 5\right) \sin{\left (x \right )} = x \sin{\left (x \right )} + 5 \sin{\left (x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \cos{\left (x \right )}\, dx = - \int \cos{\left (x \right )}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (x \right )}\, dx = \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \sin{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5 \sin{\left (x \right )}\, dx = 5 \int \sin{\left (x \right )}\, dx$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 5 \cos{\left (x \right )}$

      Результат есть: $- x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} - 5 \cos{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \left(x + 5\right) \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \left(x + 5\right) \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                          
  /                                          
 |                                           
 |  (x + 5)*sin(x) dx = 5 - 6*cos(1) + sin(1)
 |                                           
/                                            
0                                            

$$\sin 1-6\,\cos 1+5$$

Численный ответ

2.59965714959906

Ответ (Неопределённый)

  /                                               
 |                                                
 | (x + 5)*sin(x) dx = C - (5 + x)*cos(x) + sin(x)
 |                                                
/                                                 

$$\sin x-x\,\cos x-5\,\cos x$$