Интеграл x*acot(4*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  x*acot(4*x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int\limits_{0}^{1} x \operatorname{acot}{\left(4 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{acot}{\left(4 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{4}{16 x^{2} + 1}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{2 x^{2}}{16 x^{2} + 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x^{2}}{16 x^{2} + 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{16 x^{2} + 1} = \frac{1}{16} - \frac{1}{16 \cdot \left(16 x^{2} + 1\right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{16 \cdot \left(16 x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{16 x^{2} + 1}\, dx}{16}$

         1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{4}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{64}$

      Результат есть: $\frac{x}{16} - \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{64}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{8} + \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{32}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \operatorname{acot}{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{x}{8} - \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{32}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} \operatorname{acot}{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{x}{8} - \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{32}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1   pi   17*acot(4)
- - -- + ----------
8   64       32    

$$- \frac{\pi}{64} + \frac{1}{8} + \frac{17 \operatorname{acot}{\left(4 \right)}}{32}$$

=

=

1   pi   17*acot(4)
- - -- + ----------
8   64       32    

$$- \frac{\pi}{64} + \frac{1}{8} + \frac{17 \operatorname{acot}{\left(4 \right)}}{32}$$

Численный ответ

0.206057529573806

Ответ (Неопределённый)

  /                                      2          
 |                      atan(4*x)   x   x *acot(4*x)
 | x*acot(4*x) dx = C - --------- + - + ------------
 |                          32      8        2      
/                                                   

$$\int x \operatorname{acot}{\left(4 x \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \operatorname{acot}{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{x}{8} - \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{32}$$

График