Интеграл x*asin(1/x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |        /  1\   
 |  x*asin|1*-| dx
 |        \  x/   
 |                
/                 
0                 

$$\int\limits_{0}^{1} x \operatorname{asin}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}\, dx}{2}$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\begin{cases} \sqrt{x^{2} - 1} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\i \sqrt{1 - x^{2}} & \text{otherwестьe} \end{cases}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{\begin{cases} \sqrt{x^{2} - 1} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\i \sqrt{1 - x^{2}} & \text{otherwестьe} \end{cases}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\begin{cases} \frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \sqrt{x^{2} - 1}}{2} & \text{for}\: x > 1 \vee x < -1 \\\frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} + i \sqrt{1 - x^{2}}}{2} & \text{otherwестьe} \end{cases}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \sqrt{x^{2} - 1}}{2} & \text{for}\: x > 1 \vee x < -1 \\\frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} + i \sqrt{1 - x^{2}}}{2} & \text{otherwестьe} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \sqrt{x^{2} - 1}}{2} & \text{for}\: x > 1 \vee x < -1 \\\frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} + i \sqrt{1 - x^{2}}}{2} & \text{otherwестьe} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  I   pi
- - + --
  2   4 

$$\frac{\pi}{4} - \frac{i}{2}$$

=

=

  I   pi
- - + --
  2   4 

$$\frac{\pi}{4} - \frac{i}{2}$$

Численный ответ

(0.785398163397448 - 0.5j)

Ответ (Неопределённый)

                        /   _________                              
                        |  /       2        | 2|                   
                        |\/  -1 + x     for |x | > 1               
                        <                                          
  /                     |     ________                  2     /  1\
 |                      |    /      2                  x *asin|1*-|
 |       /  1\          \I*\/  1 - x     otherwise            \  x/
 | x*asin|1*-| dx = C + ---------------------------- + ------------
 |       \  x/                       2                      2      
 |                                                                 
/                                                                  

$$\int x \operatorname{asin}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \operatorname{asin}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{2} + \frac{\begin{cases} \sqrt{x^{2} - 1} & \text{for}\: \left|{x^{2}}\right| > 1 \\i \sqrt{1 - x^{2}} & \text{otherwise} \end{cases}}{2}$$

График