Интеграл x*atan(7*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  x*atan(7*x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int\limits_{0}^{1} x \operatorname{atan}{\left(7 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(7 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{7}{49 x^{2} + 1}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{7 x^{2}}{2 \cdot \left(49 x^{2} + 1\right)}\, dx = \frac{7 \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1}\, dx}{2}$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} = \frac{1}{49} - \frac{1}{49 \cdot \left(49 x^{2} + 1\right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{49}\, dx = \frac{x}{49}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{49 \cdot \left(49 x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{49 x^{2} + 1}\, dx}{49}$

         1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(7 x \right)}}{7}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(7 x \right)}}{343}$

      Результат есть: $\frac{x}{49} - \frac{\operatorname{atan}{\left(7 x \right)}}{343}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{x}{14} - \frac{\operatorname{atan}{\left(7 x \right)}}{98}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(7 x \right)}}{2} - \frac{x}{14} + \frac{\operatorname{atan}{\left(7 x \right)}}{98}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(7 x \right)}}{2} - \frac{x}{14} + \frac{\operatorname{atan}{\left(7 x \right)}}{98}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1    25*atan(7)
- -- + ----------
  14       49    

$$- \frac{1}{14} + \frac{25 \operatorname{atan}{\left(7 \right)}}{49}$$

=

=

  1    25*atan(7)
- -- + ----------
  14       49    

$$- \frac{1}{14} + \frac{25 \operatorname{atan}{\left(7 \right)}}{49}$$

Численный ответ

0.657601669485068

Ответ (Неопределённый)

  /                                       2          
 |                      x    atan(7*x)   x *atan(7*x)
 | x*atan(7*x) dx = C - -- + --------- + ------------
 |                      14       98           2      
/                                                    

$$\int x \operatorname{atan}{\left(7 x \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(7 x \right)}}{2} - \frac{x}{14} + \frac{\operatorname{atan}{\left(7 x \right)}}{98}$$

График