Интеграл x*atan(x/6) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |        /x\   
 |  x*atan|-| dx
 |        \6/   
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{6 \left(\frac{x^{2}}{36} + 1\right)}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{2}}{12 \left(\frac{x^{2}}{36} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{36} + 1}\, dx}{12}$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{36} + 1} = 36 - \frac{1296}{x^{2} + 36}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 36\, dx = 36 x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1296}{x^{2} + 36}\right)\, dx = - 1296 \int \frac{1}{x^{2} + 36}\, dx$

            1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6}$.

            Таким образом, результат будет: $- 216 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}$

         Результат есть: $36 x - 216 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{36} + 1} = \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 36}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 36}\, dx = 36 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 36}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{x^{2} + 36} = 1 - \frac{36}{x^{2} + 36}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{36}{x^{2} + 36}\right)\, dx = - 36 \int \frac{1}{x^{2} + 36}\, dx$

               1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6}$.

               Таким образом, результат будет: $- 6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}$

            Результат есть: $x - 6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $36 x - 216 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}$

   Таким образом, результат будет: $3 x - 18 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{2} - 3 x + 18 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{2} - 3 x + 18 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{2} - 3 x + 18 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

     37*atan(1/6)
-3 + ------------
          2      

$$-3 + \frac{37 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{6} \right)}}{2}$$

=

=

     37*atan(1/6)
-3 + ------------
          2      

$$-3 + \frac{37 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{6} \right)}}{2}$$

Численный ответ

0.0552505321705965

Ответ (Неопределённый)

  /                                       2     /x\
 |                                       x *atan|-|
 |       /x\                       /x\          \6/
 | x*atan|-| dx = C - 3*x + 18*atan|-| + ----------
 |       \6/                       \6/       2     
 |                                                 
/                                                  

$$\int x \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}}{2} - 3 x + 18 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{6} \right)}$$

График