Интеграл x*dx/(x^2+1)^(1/2) (dx)

Вы ввели

  1                   
  /                   
 |                    
 |           1        
 |  x*1*----------- dx
 |         ________   
 |        /  2        
 |      \/  x  + 1    
 |                    
/                     
0                     

$$\int\limits_{0}^{1} x 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt{x^{2} + 1}$.

      Тогда пусть $du = \frac{x dx}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ и подставим $du$:

      $\int 1\, du$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, du = u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\sqrt{x^{2} + 1}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

   2. пусть $u = x^{2} + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Таким образом, результат будет: $\sqrt{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\sqrt{x^{2} + 1}$

2. Теперь упростить:

   $\sqrt{x^{2} + 1}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\sqrt{x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\sqrt{x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ

       ___
-1 + \/ 2 

$$-1 + \sqrt{2}$$

=

=

       ___
-1 + \/ 2 

$$-1 + \sqrt{2}$$

Численный ответ

0.414213562373095

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                             ________
 |          1                 /      2 
 | x*1*----------- dx = C + \/  1 + x  
 |        ________                     
 |       /  2                          
 |     \/  x  + 1                      
 |                                     
/                                      

$$\int x 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\, dx = C + \sqrt{x^{2} + 1}$$

График