Интеграл x*2*(1-x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  x*2*(1 - x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} 2 x \left(- x + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

      $\int 2 u^{2} + 2 u\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{2 u^{3}}{3}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $u^{2}$

         Результат есть: $\frac{2 u^{3}}{3} + u^{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $2 x \left(- x + 1\right) = - 2 x^{2} + 2 x$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 2 x^{2}\, dx = - 2 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $x^{2}$

      Результат есть: $- \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $2 x \left(- x + 1\right) = - 2 x^{2} + 2 x$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 2 x^{2}\, dx = - 2 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $x^{2}$

      Результат есть: $- \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{3} \left(- 2 x + 3\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{3} \left(- 2 x + 3\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{3} \left(- 2 x + 3\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                     
  /                     
 |                      
 |  x*2*(1 - x) dx = 1/3
 |                      
/                       
0                       

$${{1}\over{3}}$$

Численный ответ

0.333333333333333

Ответ (Неопределённый)

  /                             3
 |                       2   2*x 
 | x*2*(1 - x) dx = C + x  - ----
 |                            3  
/                                

$$-{{2\,x^3-3\,x^2}\over{3}}$$