Интеграл x*exp(3*x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |     3*x   
 |  x*e    dx
 |           
/            
0            

$$\int\limits_{0}^{1} x e^{3 x}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{3 x}}{3}$

      Метод #2

      1. пусть $u = e^{3 x}$.

         Тогда пусть $du = 3 e^{3 x} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{\int 1\, du}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{3 x}}{3}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{\int e^{3 x}\, dx}{3}$

   1. пусть $u = 3 x$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{3 x}}{3}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{e^{3 x}}{9}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\left(3 x - 1\right) e^{3 x}}{9}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(3 x - 1\right) e^{3 x}}{9}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(3 x - 1\right) e^{3 x}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ

       3
1   2*e 
- + ----
9    9  

$$\frac{1}{9} + \frac{2 e^{3}}{9}$$

=

=

       3
1   2*e 
- + ----
9    9  

$$\frac{1}{9} + \frac{2 e^{3}}{9}$$

Численный ответ

4.57456376070837

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                  3*x      3*x
 |    3*x          e      x*e   
 | x*e    dx = C - ---- + ------
 |                  9       3   
/                               

$$\int x e^{3 x}\, dx = C + \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}$$

График