Интеграл x*e^(2-x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     2 - x   
 |  x*e      dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} x e^{2 - x}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x e^{2 - x} = x e^{2} e^{- x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int x e^{2} e^{- x}\, dx = e^{2} \int x e^{- x}\, dx$

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- x e^{- x} - e^{- x}$

      Таким образом, результат будет: $\left(- x e^{- x} - e^{- x}\right) e^{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x e^{2 - x} = x e^{2} e^{- x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int x e^{2} e^{- x}\, dx = e^{2} \int x e^{- x}\, dx$

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- x e^{- x} - e^{- x}$

      Таким образом, результат будет: $\left(- x e^{- x} - e^{- x}\right) e^{2}$

2. Теперь упростить:

   $\left(- x - 1\right) e^{2 - x}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(- x - 1\right) e^{2 - x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(- x - 1\right) e^{2 - x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

        2
-2*e + e 

$$- 2 e + e^{2}$$

=

=

        2
-2*e + e 

$$- 2 e + e^{2}$$

Численный ответ

1.95249244201256

Ответ (Неопределённый)

  /                                    
 |                                     
 |    2 - x          /   -x      -x\  2
 | x*e      dx = C + \- e   - x*e  /*e 
 |                                     
/                                      

$$\int x e^{2 - x}\, dx = C + \left(- x e^{- x} - e^{- x}\right) e^{2}$$

График