Интеграл x*e^(7*x)*dx (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     7*x     
 |  x*e   *1 dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} x e^{7 x} 1\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{7 x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 7 x$.

         Тогда пусть $du = 7 dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

         $\int \frac{e^{u}}{49}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{7}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{7}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{7}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{7 x}}{7}$

      Метод #2

      1. пусть $u = e^{7 x}$.

         Тогда пусть $du = 7 e^{7 x} dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

         $\int \frac{1}{49}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{7}\, du = \frac{\int 1\, du}{7}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u}{7}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{7 x}}{7}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{e^{7 x}}{7}\, dx = \frac{\int e^{7 x}\, dx}{7}$

   1. пусть $u = 7 x$.

      Тогда пусть $du = 7 dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

      $\int \frac{e^{u}}{49}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{e^{u}}{7}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{7}$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{7}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{7 x}}{7}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{e^{7 x}}{49}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\left(7 x - 1\right) e^{7 x}}{49}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(7 x - 1\right) e^{7 x}}{49}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(7 x - 1\right) e^{7 x}}{49}+ \mathrm{constant}$

Ответ

        7
1    6*e 
-- + ----
49    49 

$$\frac{1}{49} + \frac{6 e^{7}}{49}$$

=

=

        7
1    6*e 
-- + ----
49    49 

$$\frac{1}{49} + \frac{6 e^{7}}{49}$$

Численный ответ

134.302019399403

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                    7*x      7*x
 |    7*x            e      x*e   
 | x*e   *1 dx = C - ---- + ------
 |                    49      7   
/                                 

$$\int x e^{7 x} 1\, dx = C + \frac{x e^{7 x}}{7} - \frac{e^{7 x}}{49}$$

График