Интеграл x*cos(2*x)*dx (dx)

Вы ввели

  1                
  /                
 |                 
 |  x*cos(2*x)*1 dx
 |                 
/                  
0                  

$$\int\limits_{0}^{1} x \cos{\left(2 x \right)} 1\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

      Метод #2

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            Метод #2

            1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

               $\int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1   sin(2)   cos(2)
- - + ------ + ------
  4     2        4   

$$- \frac{1}{4} + \frac{\cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2}$$

=

=

  1   sin(2)   cos(2)
- - + ------ + ------
  4     2        4   

$$- \frac{1}{4} + \frac{\cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2}$$

Численный ответ

0.100612004276055

Ответ (Неопределённый)

  /                                           
 |                       cos(2*x)   x*sin(2*x)
 | x*cos(2*x)*1 dx = C + -------- + ----------
 |                          4           2     
/                                             

$$\int x \cos{\left(2 x \right)} 1\, dx = C + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$$

График