Интеграл x*cos(5*x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |  x*cos(5*x) dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} x \cos{\left(5 x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. пусть $u = 5 x$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{25}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}\, dx = \frac{\int \sin{\left(5 x \right)}\, dx}{5}$

   1. пусть $u = 5 x$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{25}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1    sin(5)   cos(5)
- -- + ------ + ------
  25     5        25  

$$\frac{\sin{\left(5 \right)}}{5} - \frac{1}{25} + \frac{\cos{\left(5 \right)}}{25}$$

=

=

  1    sin(5)   cos(5)
- -- + ------ + ------
  25     5        25  

$$\frac{\sin{\left(5 \right)}}{5} - \frac{1}{25} + \frac{\cos{\left(5 \right)}}{25}$$

Численный ответ

-0.220438367514099

Ответ (Неопределённый)

  /                                         
 |                     cos(5*x)   x*sin(5*x)
 | x*cos(5*x) dx = C + -------- + ----------
 |                        25          5     
/                                           

$$\int x \cos{\left(5 x \right)}\, dx = C + \frac{x \sin{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25}$$

График