Интеграл x*cos(x^4) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |       / 4\   
 |  x*cos\x / dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} x \cos{\left (x^{4} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (x^{4} \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\frac{x \Gamma{\left(\frac{1}{8} \right)}}{8 \Gamma{\left(\frac{9}{8} \right)}} {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2}, \frac{9}{8} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{8}}{4}} \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x \Gamma{\left(\frac{1}{8} \right)}}{8 \Gamma{\left(\frac{9}{8} \right)}} {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2}, \frac{9}{8} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{8}}{4}} \right)}\, dx = \frac{\Gamma{\left(\frac{1}{8} \right)}}{8 \Gamma{\left(\frac{9}{8} \right)}} \int x {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2}, \frac{9}{8} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{8}}{4}} \right)}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\int x {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2}, \frac{9}{8} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{8}}{4}} \right)}\, dx$

   Таким образом, результат будет: $\frac{\Gamma{\left(\frac{1}{8} \right)}}{8 \Gamma{\left(\frac{9}{8} \right)}} \int x {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2}, \frac{9}{8} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{8}}{4}} \right)}\, dx$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\Gamma{\left(\frac{1}{8} \right)}}{8 \Gamma{\left(\frac{9}{8} \right)}} \left(x^{2} {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2}, \frac{9}{8} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{8}}{4}} \right)} - \int x {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2}, \frac{9}{8} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{8}}{4}} \right)}\, dx\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\Gamma{\left(\frac{1}{8} \right)}}{8 \Gamma{\left(\frac{9}{8} \right)}} \left(x^{2} {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2}, \frac{9}{8} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{8}}{4}} \right)} - \int x {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2}, \frac{9}{8} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{8}}{4}} \right)}\, dx\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\Gamma{\left(\frac{1}{8} \right)}}{8 \Gamma{\left(\frac{9}{8} \right)}} \left(x^{2} {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2}, \frac{9}{8} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{8}}{4}} \right)} - \int x {{}_{1}F_{2}\left(\begin{matrix} \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2}, \frac{9}{8} \end{matrix}\middle| {- \frac{x^{8}}{4}} \right)}\, dx\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

                                        /  ___ \           
  1                  ___   ____         |\/ 2  |           
  /                \/ 2 *\/ pi *fresnelc|------|*gamma(1/4)
 |                                      |  ____|           
 |       / 4\                           \\/ pi /           
 |  x*cos\x / dx = ----------------------------------------
 |                              16*gamma(5/4)              
/                                                          
0                                                          

$${{i\,\Gamma\left({{1}\over{2}} , i\right)}\over{2^{{{7}\over{2}}}}} -{{\Gamma\left({{1}\over{2}} , i\right)}\over{2^{{{7}\over{2}}}}}-{{ i\,\Gamma\left({{1}\over{2}} , -i\right)}\over{2^{{{7}\over{2}}}}}- {{\Gamma\left({{1}\over{2}} , -i\right)}\over{2^{{{7}\over{2}}}}}+{{ \sqrt{\pi}}\over{2^{{{5}\over{2}}}}}$$

Численный ответ

0.452262118950136

Ответ (Неопределённый)

                      /  /                           \                                                  
                      | |                            |                                                  
                      | |                            |                                                  
                      | |     _  /         |   8 \   |                                                  
                      | |    |_  |  1/8    | -x  |   |                                                  
                      | | x* |   |         | ----| dx|*gamma(1/8)                   _  /         |   8 \
  /                   | |   1  2 \1/2, 9/8 |  4  /   |               2             |_  |  1/8    | -x  |
 |                    | |                            |              x *gamma(1/8)* |   |         | ----|
 |      / 4\          \/                             /                            1  2 \1/2, 9/8 |  4  /
 | x*cos\x / dx = C - ------------------------------------------- + ------------------------------------
 |                                    8*gamma(9/8)                              8*gamma(9/8)            
/                                                                                                       

$${{\left(\sqrt{2}\,i-\sqrt{2}\right)\,\Gamma\left({{1}\over{2}} , i \,x^4\right)+\left(-\sqrt{2}\,i-\sqrt{2}\right)\,\Gamma\left({{1 }\over{2}} , -i\,x^4\right)}\over{16}}$$