Интеграл x*log(1/x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |       /  1\   
 |  x*log|1*-| dx
 |       \  x/   
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{x}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{4}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{4}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} \cdot \left(2 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1/4

$$\frac{1}{4}$$

=

=

1/4

$$\frac{1}{4}$$

Численный ответ

0.25

Ответ (Неопределённый)

  /                          2    /  1\
 |                      2   x *log|1*-|
 |      /  1\          x          \  x/
 | x*log|1*-| dx = C + -- + -----------
 |      \  x/          4         2     
 |                                     
/                                      

$$\int x \log{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}$$

График