Интеграл x*(1-x^2) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |    /     2\   
 |  x*\1 - x / dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \left(- x^{2} + 1\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{2}$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $du$:

      $\int - \frac{u}{2} + \frac{1}{2}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{u}{2}\, du = - \frac{1}{2} \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{4}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

         Результат есть: $- \frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x \left(- x^{2} + 1\right) = - x^{3} + x$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - x^{3}\, dx = - \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{4}}{4}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Результат есть: $- \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{4} \left(- x^{2} + 2\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{4} \left(- x^{2} + 2\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{4} \left(- x^{2} + 2\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |    /     2\         
 |  x*\1 - x / dx = 1/4
 |                     
/                      
0                      

$${{1}\over{4}}$$

Численный ответ

0.25

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                      2    4
 |   /     2\          x    x 
 | x*\1 - x / dx = C + -- - --
 |                     2    4 
/                             

$$-{{\left(1-x^2\right)^2}\over{4}}$$