Интеграл x*sin(pi*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  x*sin(pi*x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} x \sin{\left (\pi x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (\pi x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = \pi x$.

      Тогда пусть $du = \pi dx$ и подставим $\frac{du}{\pi}$:

      $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{\pi} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{\pi} \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{\pi} \cos{\left (\pi x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{1}{\pi} \cos{\left (\pi x \right )}\, dx = - \frac{1}{\pi} \int \cos{\left (\pi x \right )}\, dx$

   1. пусть $u = \pi x$.

      Тогда пусть $du = \pi dx$ и подставим $\frac{du}{\pi}$:

      $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{\pi} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{\pi} \sin{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{\pi} \sin{\left (\pi x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{\pi^{2}} \sin{\left (\pi x \right )}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{1}{\pi^{2}} \left(- \pi x \cos{\left (\pi x \right )} + \sin{\left (\pi x \right )}\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{\pi^{2}} \left(- \pi x \cos{\left (\pi x \right )} + \sin{\left (\pi x \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\pi^{2}} \left(- \pi x \cos{\left (\pi x \right )} + \sin{\left (\pi x \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                   1 
 |  x*sin(pi*x) dx = --
 |                   pi
/                      
0                      

$${{\sin \pi-\pi\,\cos \pi}\over{\pi^2}}$$

Численный ответ

0.318309886183791

Ответ (Неопределённый)

  /                                            
 |                      sin(pi*x)   x*cos(pi*x)
 | x*sin(pi*x) dx = C + --------- - -----------
 |                           2           pi    
/                          pi                  

$${{\sin \left(\pi\,x\right)-\pi\,x\,\cos \left(\pi\,x\right)}\over{ \pi^2}}$$