Интеграл x*sin(x)^(4) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |       4      
 |  x*sin (x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} x \sin^{4}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2}$

   2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. пусть $u = 4 x$.

                     Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

         Результат есть: $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                  1. пусть $u = 4 x$.

                     Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\, du$

                     1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                        1. Интеграл от косинуса есть синус:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

               Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

         Результат есть: $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{3 x}{8}\, dx = \frac{3 \int x\, dx}{8}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3 x^{2}}{16}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         Метод #2

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

               Метод #1

               1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

               Метод #2

               1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\, dx = \frac{\int \sin{\left(4 x \right)}\, dx}{32}$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{128}$

   Результат есть: $\frac{3 x^{2}}{16} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{128}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{3 x^{2}}{16} - \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{x \sin{\left(4 x \right)}}{32} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{128}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3 x^{2}}{16} - \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{x \sin{\left(4 x \right)}}{32} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{128}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3 x^{2}}{16} - \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{x \sin{\left(4 x \right)}}{32} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{128}+ \mathrm{constant}$

Ответ

          4            4           3                  3                  2       2   
3    3*cos (1)   11*sin (1)   5*sin (1)*cos(1)   3*cos (1)*sin(1)   3*cos (1)*sin (1)
-- + --------- + ---------- - ---------------- - ---------------- + -----------------
32       32          32              8                  8                   8        

$$- \frac{5 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{8} - \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos^{3}{\left(1 \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{4}{\left(1 \right)}}{32} + \frac{3 \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)}}{8} + \frac{3}{32} + \frac{11 \sin^{4}{\left(1 \right)}}{32}$$

=

=

          4            4           3                  3                  2       2   
3    3*cos (1)   11*sin (1)   5*sin (1)*cos(1)   3*cos (1)*sin(1)   3*cos (1)*sin (1)
-- + --------- + ---------- - ---------------- - ---------------- + -----------------
32       32          32              8                  8                   8        

$$- \frac{5 \sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{8} - \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos^{3}{\left(1 \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{4}{\left(1 \right)}}{32} + \frac{3 \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)}}{8} + \frac{3}{32} + \frac{11 \sin^{4}{\left(1 \right)}}{32}$$

Численный ответ

0.100624829095603

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                               
 |                       2                                                        
 |      4             3*x    cos(2*x)   cos(4*x)     /  sin(2*x)   sin(4*x)   3*x\
 | x*sin (x) dx = C - ---- - -------- + -------- + x*|- -------- + -------- + ---|
 |                     16       8         128        \     4          32       8 /
/                                                                                 

$$\int x \sin^{4}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{3 x^{2}}{16} + x \left(\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}\right) - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{128}$$

График