Интеграл x*(x-3)^8 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           8   
 |  x*(x - 3)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} x \left(x - 3\right)^{8}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x \left(x - 3\right)^{8} = x^{9} - 24 x^{8} + 252 x^{7} - 1512 x^{6} + 5670 x^{5} - 13608 x^{4} + 20412 x^{3} - 17496 x^{2} + 6561 x$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 24 x^{8}\, dx = - 24 \int x^{8}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{8 x^{9}}{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 252 x^{7}\, dx = 252 \int x^{7}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{63 x^{8}}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 1512 x^{6}\, dx = - 1512 \int x^{6}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Таким образом, результат будет: $- 216 x^{7}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 5670 x^{5}\, dx = 5670 \int x^{5}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Таким образом, результат будет: $945 x^{6}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 13608 x^{4}\, dx = - 13608 \int x^{4}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{13608 x^{5}}{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 20412 x^{3}\, dx = 20412 \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $5103 x^{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 17496 x^{2}\, dx = - 17496 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- 5832 x^{3}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 6561 x\, dx = 6561 \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{6561 x^{2}}{2}$

   Результат есть: $\frac{x^{10}}{10} - \frac{8 x^{9}}{3} + \frac{63 x^{8}}{2} - 216 x^{7} + 945 x^{6} - \frac{13608 x^{5}}{5} + 5103 x^{4} - 5832 x^{3} + \frac{6561 x^{2}}{2}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{30} \left(3 x^{8} - 80 x^{7} + 945 x^{6} - 6480 x^{5} + 28350 x^{4} - 81648 x^{3} + 153090 x^{2} - 174960 x + 98415\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{30} \left(3 x^{8} - 80 x^{7} + 945 x^{6} - 6480 x^{5} + 28350 x^{4} - 81648 x^{3} + 153090 x^{2} - 174960 x + 98415\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{30} \left(3 x^{8} - 80 x^{7} + 945 x^{6} - 6480 x^{5} + 28350 x^{4} - 81648 x^{3} + 153090 x^{2} - 174960 x + 98415\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |           8            
 |  x*(x - 3)  dx = 3527/6
 |                        
/                         
0                         

$${{3527}\over{6}}$$

Численный ответ

587.833333333333

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                 
 |                                                                  5      9    10       8         2
 |          8                3        7        6         4   13608*x    8*x    x     63*x    6561*x 
 | x*(x - 3)  dx = C - 5832*x  - 216*x  + 945*x  + 5103*x  - -------- - ---- + --- + ----- + -------
 |                                                              5        3      10     2        2   
/                                                                                                   

$${{3\,x^{10}-80\,x^9+945\,x^8-6480\,x^7+28350\,x^6-81648\,x^5+153090 \,x^4-174960\,x^3+98415\,x^2}\over{30}}$$